Question

如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，BC邊的垂直平分線DE交AC于E，交BC邊于D，若AB=4厘米，BE=5厘米，△BCE的周長是18厘米，
（1）求BC的長．
（2）求證：∠ABC=2∠C．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵DE是BC邊的垂直平分線，
∴BE=CE=5厘米，
∵△BCE的周長是18厘米，
即BE+CE+BC=18厘米
∴BC=18-（CE+BE）=18-10=8（厘米）；

（2）∵DE是BC邊的垂直平分線
∴BD=CD=4厘米，
∵AB=4厘米，
∴BD=BA，
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE
∴∠ABC=2∠EBC
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
∴∠ABC=2∠C
分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE，然后根據(jù)△BCE的周長是18厘米即可求得BC的長；
（2）根據(jù)三線合一定理即可求得BD的長，即可證明Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角證明∠EBC=∠ECB即可證得．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確證明Rt△ABE≌Rt△DBE是關(guān)鍵．