Question

【題目】（知識(shí)生成）

我們已經(jīng)知道，通過(guò)不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式．

2002年8月在北京召開(kāi)了國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b （ a<b ），斜邊長(zhǎng)為c．

（1）圖中陰影部分的面積用兩種方法可分別表示為　 　 、　 　 ；

（2）你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是　 　 （等號(hào)兩邊需化為最簡(jiǎn)形式）；

（3）一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為6和8，則其斜邊長(zhǎng)為　 　 ．

（知識(shí)遷移）

通過(guò)不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長(zhǎng)為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．

（4）用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為　 　 ．（等號(hào)兩邊需化為最簡(jiǎn)形式）

（5）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．

Answer 1

【答案】（1）c2﹣2ab，（b﹣a）2；（2）a2+b2＝c2；（3）10；（4）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（5）a3+b3＝18．

【解析】

（1）求出圖形的各個(gè)部分的面積，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可得出答案；
（3）代入求出即可；
（4）求出大正方體的條件和各個(gè)部分的體積，即可得出答案；
（5）代入（4）中的等式求出即可．

解：

（1）答案為：c2﹣2ab，（b﹣a）2；

（2）答案為：a2+b2＝c2；

（3）答案為：10；

（4）圖形的體積為（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，

即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，

故答案為：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；

（5）∵a+b＝3，ab＝1，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）

∴33＝a3+b3+3×1×3，

解得：a3+b3＝18．