如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,與x軸分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),且點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣,0),以0C為直徑作半圓,圓心為D.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求證:直線BE是⊙D的切線;
(3)若直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P,M是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)B,C不重合),過(guò)點(diǎn)M作MN∥BE交x軸與點(diǎn)N,連結(jié)PM,PN,設(shè)CM的長(zhǎng)為t,△PMN的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.S是否存在著最大值?若存在,求出最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):
二次函數(shù)綜合題.
分析:
(1)根據(jù)題意易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后把點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式,列出關(guān)于a、b、c的方程組,利用三元一次方程組來(lái)求得系數(shù)的值;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G,構(gòu)建相似三角形△EGD∽△ECB,根據(jù)它的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=
,由此求得DG=1(圓的半徑是1),則易證得結(jié)論;
(3)利用待定系數(shù)法求得直線BE為:y=x+.則易求P(1,).然后由相似三角形△MNC∽△BEC的對(duì)應(yīng)邊成比例,線段間的和差關(guān)系得到CN=t,DN=t﹣1.所以
S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t(0<t<2).由拋物線的性質(zhì)可以求得S的最值.
解答:
解:(1)由題意,得A(0,2),B(2,2),E的坐標(biāo)為(﹣,0),
則,
解得,,
∴該二次函數(shù)的解析式為:y=﹣x2+x+2;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G.
由題意,得
ED=+1=,EC=2+=,BC=2,
∴BE==
.
∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°,
∴△EGD∽△ECB,
∴=
,
∴DG=1.
∵⊙D的半徑是1,且DG⊥BE,
∴BE是⊙D的切線;
(3)由題意,得
E(﹣,0),B(2,2).
設(shè)直線BE為y=kx+h(k≠0).則
,
解得,,
∴直線BE為:y=x+.
∵直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P,對(duì)稱軸直線為x=1,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=,即P(1,).
∵M(jìn)N∥BE,
∴∠MNC=∠BEC.
∵∠C=∠C=90°,
∴△MNC∽△BEC,
∴=
,
∴=,則CN=t,
∴DN=t﹣1,
∴S△PND=DN•PD=(t﹣1)•=t﹣.
S△MNC=CN•CM=×t•t=t2.
S梯形PDCM=(PD+CM)•CD=•(+t)•1=+t.
∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t(0<t<2).
∵拋物線S=﹣+t(0<t<2)的開(kāi)口方向向下,
∴S存在最大值.當(dāng)t=1時(shí),S最大=.
點(diǎn)評(píng):
本題考查了二次函數(shù)綜合題,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法.注意配方法在(3)題中的應(yīng)用.
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