Question

【題目】如圖，直線與軸交于A點，與反比例函數的圖象交于點M，過M作MH⊥軸于點H，且tan∠AHO=2.

（1）求的值；

（2）在軸上是否存在點P，使以點P、A、H、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

（3）點N（，1）是反比例函數圖象上的點，在x軸上有一點P，使得PM+PN最小，請求出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）存在；P點坐標為（0，6）或（0，-2）；（3）（，0）．

【解析】

試題分析：（1）對于y=2x+2，令x=0求出y的值，確定出A的坐標，得到OA的長，根據tan∠AHO的值，利用銳角三角函數定義求出OH的長，根據MH垂直于x軸，確定出M橫坐標，代入直線解析式求出縱坐標，確定出M的坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）存在，理由為：如圖所示，分兩種情況考慮：當四邊形P1AHM為平行四邊形時；當四邊形AP2HM為平行四邊形時，利用平行四邊形的性質確定出P的坐標即可；

（3）把M坐標代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標，過點N作N關于x軸的對稱點N1，連接MN1，交x軸于P，此時PM+PN最小，利用待定系數法確定出直線MN1的解析式，即可確定出P的坐標．

試題解析：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2，

∵tan∠AHO=2，

∴OH=1，

∵MH⊥x軸，

∴點M的橫坐標為1，

∵點M在直線y=2x+2上，

∴點M的縱坐標為4，即M（1，4），

∵點M在y=上，

∴k=1×4=4；

（2）存在，如圖所示：

當四邊形P1AHM為平行四邊形時，P1A=MH=4，

∴P1A+AO=4+2=6，即P1（0，6）；

當四邊形AP2HM為平行四邊形時，MH=AP2=4，

∴OP2=AP2-OA=4-2=2，此時P2（0，-2），

綜上，P點坐標為（0，6）或（0，-2）；

（3）∵點N（a，1）在反比例函數y=上，

∴a=4，即點N的坐標為（4，1），

過點N作N關于x軸的對稱點N1，連接MN1，交x軸于P，此時PM+PN最小，

∵N與N1關于x軸的對稱，N點坐標為（4，1），

∴N1的坐標為（4，-1），

設直線MN1的解析式為y=kx+b，

由，解得：，

∴直線MN1的解析式為y=-x+，

令y=0，得x=，

∴P點坐標為（，0）．