Question

如圖，直線y=kx+b交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)A（4，m）和點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E（0，-2）
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D使CD=DA？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）取C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連EF，點(diǎn)P為△CEF外一點(diǎn)，連PE，PF，PC，當(dāng)P在△CEF外運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠EPF=30°，有兩個(gè)結(jié)論：①PE²+PF²=PC² ②PE+PF=PC+EF，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，作選擇并證明．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（4，m）在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴m==2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∵點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)E（0，-2）都在直線y=kx+b上，
∴，
解得，
∴直線解析式為y=x-2，
令y=0，則x-2=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）y軸上存在點(diǎn)D（0，2），使CD=DA．
理由如下：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，y），
則CD=，
AD=，
∵CD=DA，
∴=，
兩邊平方并整理得，4y-24=0，
解得y=2，
∴y軸上存在點(diǎn)D（0，2），使CD=DA；

（3）結(jié)論①PE²+PF²=PC²正確．
理由如下：∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-2），
∴CE===4，tan∠ECO===，
∴∠ECO=60°，
又∵點(diǎn)F、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴FC=2+2=4，
∴FC=CE，
∴△CEF是等邊三角形，
如圖，把△PCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P′C′E，連接PP′，
則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，△PP′C為等邊三角形，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′，
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′，
∵∠EPF=30°，
∴∠PFP′=30°+60°=90°，
∴△PFP′是直角三角形，
即P′E′²+PF²=PP′²，
∴PE²+PF²=PC²．
故結(jié)論①正確，結(jié)論②錯(cuò)誤．
分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，然后令y=0，求解即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式列式進(jìn)行計(jì)算，如果方程有解，則存在，否則不存在；
（3）先求出△CEF是等邊三角形，再把△PCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P′C′E，連接PP′，則△PP′C為等邊三角形，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠PFP′=∠EPF+∠PCP′=90°，再根據(jù)勾股定理可得P′E′²+PF²=PP′²，也就是PE²+PF²=PC²，從而得到第一個(gè)結(jié)論正確，第二個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)的問(wèn)題，主要利用了點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）利用旋轉(zhuǎn)變換和三角形的外角性質(zhì)把∠EPF=30°與60°的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角從而得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．