如圖,直線y=kx+b交反比例函數(shù)y=數(shù)學(xué)公式的圖象于點A(4,m)和點B,交x軸于點C,交y軸于點E(0,-2數(shù)學(xué)公式
(1)求C點的坐標(biāo);
(2)在y軸上是否存在點D使CD=DA?若存在,求出D點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)取C點關(guān)于y軸的對稱點F,連EF,點P為△CEF外一點,連PE,PF,PC,當(dāng)P在△CEF外運動時,若∠EPF=30°,有兩個結(jié)論:①PE2+PF2=PC2 ②PE+PF=PC+EF,其中只有一個結(jié)論正確,作選擇并證明.

解:(1)∵點A(4,m)在反比例函數(shù)y=的圖象上,
∴m==2,
∴點A的坐標(biāo)為(4,2),
∵點A(4,2),點E(0,-2)都在直線y=kx+b上,
,
解得,
∴直線解析式為y=x-2,
令y=0,則x-2=0,
解得x=2,
∴點C的坐標(biāo)為(2,0);

(2)y軸上存在點D(0,2),使CD=DA.
理由如下:設(shè)點D的坐標(biāo)為(0,y),
則CD=,
AD=
∵CD=DA,
=,
兩邊平方并整理得,4y-24=0,
解得y=2,
∴y軸上存在點D(0,2),使CD=DA;

(3)結(jié)論①PE2+PF2=PC2正確.
理由如下:∵點C坐標(biāo)為(2,0),點E坐標(biāo)為(0,-2),
∴CE===4,tan∠ECO===
∴∠ECO=60°,
又∵點F、C關(guān)于y軸對稱,
∴FC=2+2=4,
∴FC=CE,
∴△CEF是等邊三角形,
如圖,把△PCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P′C′E,連接PP′,
則點E與點F重合,△PP′C為等邊三角形,
根據(jù)三角形的外角性質(zhì),∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′,
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′,
∵∠EPF=30°,
∴∠PFP′=30°+60°=90°,
∴△PFP′是直角三角形,
即P′E′2+PF2=PP′2
∴PE2+PF2=PC2
故結(jié)論①正確,結(jié)論②錯誤.
分析:(1)把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m的值,再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式,然后令y=0,求解即可得到點C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點D的坐標(biāo)為(0,y),利用兩點間的距離公式列式進(jìn)行計算,如果方程有解,則存在,否則不存在;
(3)先求出△CEF是等邊三角形,再把△PCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P′C′E,連接PP′,則△PP′C為等邊三角形,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠PFP′=∠EPF+∠PCP′=90°,再根據(jù)勾股定理可得P′E′2+PF2=PP′2,也就是PE2+PF2=PC2,從而得到第一個結(jié)論正確,第二個結(jié)論錯誤.
點評:本題綜合考查了反比例函數(shù)的問題,主要利用了點在反比例函數(shù)圖象上,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,兩點間的距離公式,旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),以及勾股定理的應(yīng)用,綜合性較強,難度較大,(3)利用旋轉(zhuǎn)變換和三角形的外角性質(zhì)把∠EPF=30°與60°的角轉(zhuǎn)化為一個直角從而得到直角三角形是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直線y=kx+b經(jīng)過A(1,2)和B(-2,0)兩點,則不等式組-x+3≥kx+b>0的解集為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直線y=kx+b經(jīng)過點A(0,3),B(-2,0),則k的值為( �。�
A、3
B、
3
2
C、
2
3
D、-
3
2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

7、如圖,直線y=kx+b和y=mx都經(jīng)過點A(-1,-2),則不等式mx<kx+b的解集為( �。�

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直線y=kx+b經(jīng)過A(2,1),B(-1,-2)兩點,則不等式
1
2
x>kx+b>-2的解集為( �。�
A、x<2
B、x>-1
C、x<1或x>2
D、-1<x<2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

16、如圖,直線y=kx-1經(jīng)過點(2,1),則不等式0≤x<2kx+2的解集為
x≥0

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