Question

【題目】已知，如圖①，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？

（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0＜t＜4）；（3）t=2；（4）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)PQ∥AB，得出，，求解即可；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，根據(jù)△CPD∽△CBA，得出，求出PD=，再根據(jù)S△QMC=S△QPC，得出y=S△QMC=QCPD，再代入計(jì)算即可；

（3）根據(jù)S△QMC：S四邊形ABQP=1：4，得出S△QPC：S△ABC=1：5，代入得出（）：6=1：5，再計(jì)算即可；

（4）根據(jù)PQ⊥MQ得出△PDQ∽△MQP，得出=MPDQ，根據(jù)勾股定理得出=MPDQ，再分別代入得出，求出t即可．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，AC==4，由平移的性質(zhì)得MN∥AB，∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴，∴，解得；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，∵△CPD∽△CBA，∴，∴，∴PD=，∵PD∥BC，∴S△QMC=S△QPC，∴，即（0＜t＜4）；

（3）∵S△QMC：S四邊形ABQP=1：4，∴S△QPC：S四邊形ABQP=1：4，∴S△QPC：S△ABC=1：5，（）：6=1：5，整理得：，解得；

（4）若PQ⊥MQ，則∠PQM=∠PDQ，∵∠MPQ=∠PQD，∴△PDQ∽△MQP，∴，∴=MPDQ，∴=MPDQ，∵CD=，∴DQ=CD﹣CQ==，∴，∴整理得，解得（舍去），，∴時(shí)，PQ⊥MQ．