Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．求證：BD⊥CF；
（3）在（2）小題的條件下，AC與BG的交點(diǎn)為M，當(dāng)AB=4，AD= 時(shí)，求線段CM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF．

（2）證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM=∠GCM，

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°，

∴BD⊥CF．

（3）解：過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，

∵在正方形ADEF中，AD=DE= ，

∴AE= =2，

∴AN=FN= AE=1．

∵在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ，

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN= = ，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ，

∴AM= AB= ，

∴CM=AC﹣AM=4﹣ =

【解析】（1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，根據(jù)角邊角關(guān)系證出△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF。
（2）先設(shè)BG交AC于點(diǎn)M，根據(jù)（1）證出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根據(jù)對(duì)頂角相等，得出△BMA∽△CMG，再根據(jù)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可證出BD⊥CF。
（3）首先過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM的值，從而求出CM的值。

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．