如圖，拋物線y=-x2+ax+b過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），其對稱軸與x軸的交點(diǎn)為C，反比例函數(shù)數(shù)學(xué)公式（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)D．
（1）求拋物線和反比例函數(shù)的解析式．
（2）在線段DC上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸平行線，交y軸于點(diǎn)F、交雙曲線于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DF、DG、FC、GC．
①若△DFG的面積為4，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
②判斷直線FC和DG的位置關(guān)系，請說明理由；
③當(dāng)DF=GC時(shí)，求直線DG的函數(shù)解析式．

解：（1）∵拋物線y=-x2+ax+b過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)D（1，4），
∵函數(shù)y=（x＞0，m是常數(shù)）圖象經(jīng)過D（1，4），
∴k=4，
則反比例解析式為y=；
（2）①設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），
據(jù)題意，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），
∵m＞1，
∴FG=m，DE=4-，
由△DFG的面積為4，即m（4-）=4，得m=3，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，）；
②直線FC和DG平行．理由如下：
據(jù)題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），F(xiàn)E=1，
∵m＞1，易得EC=，EG=m-1，DE=4-，
∴==m-1，==m-1，
∴=，
∵∠DEG=∠FEC，
∴△DEG∽△FEC，
∴∠EDG=∠ECF，
∴FC∥DG；
③∵FC∥DG，
∴當(dāng)FD=CG時(shí)，有兩種情況：
（i）當(dāng)FD∥CG時(shí)，四邊形DFCG是平行四邊形，
由上題得==m-1，
∴m-1=1，即m=2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（2，2），
設(shè)直線DG的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)D，G的坐標(biāo)代入，得，
解得：，
∴直線DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6；
（ii）當(dāng)FD與CG所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則DC=FG，
∴m=4，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（4，1），
設(shè)直線DG的函數(shù)解析式為y=mx+n，
把點(diǎn)D，G的坐標(biāo)代入，得，
解得：，
∴直線DG的函數(shù)解析式是y=-x+5，
綜上所述，所求直線DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5．
分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與b的值，確定出拋物線解析式，以及頂點(diǎn)D坐標(biāo)，將D坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）①設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，），根據(jù)圖形表示出E與F坐標(biāo)，進(jìn)而表示出FG與DE的長，根據(jù)三角形DFG面積為4列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出G坐標(biāo)；
②直線FC和DG的位置關(guān)系為平行，理由為：由C的坐標(biāo)確定出OC的長，進(jìn)而表示出EC，EG，DE，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形DEG與三角形FEG相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證；
③由FC與DG平行，當(dāng)FD=CG時(shí)，有兩種情況：（i）當(dāng)FD∥CG時(shí)，四邊形DFCG是平行四邊形，由上題的比例式及平行四邊形的對角線互相平分得到m-1=1，求出m的值，確定出G坐標(biāo)，設(shè)直線DG解析式為y=kx+b，將D與G坐標(biāo)代入求出k與b的值，求出此時(shí)直線DG解析式；（ii）當(dāng)FD與CG所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則DC=FG，求出此時(shí)m的值，確定出G坐標(biāo)，設(shè)直線DG解析式為y=mx+n，將D與G坐標(biāo)代入求出m與n的值，求出此時(shí)直線DG解析式，綜上，得到滿足題意直線DG的解析式．
點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形及梯形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個(gè)點(diǎn)中，四個(gè)點(diǎn)可以連接成一個(gè)四邊形，請你用字母寫出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫一個(gè)，寫錯(cuò)、多寫記0分）
（2）證明其中任意一個(gè)特殊四邊形；
（3）寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時(shí)，x的取值范圍是（　�。�
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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