Question

已知二次函數(shù)y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)如圖①，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)如圖②，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是(4，4)、(4，3)，邊HG位于邊EF的右側(cè)．小林同學(xué)經(jīng)過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題：“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等(即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形)．”若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請(qǐng)你積極探索，并寫出探索過(guò)程；

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問(wèn)：是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等(即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令y＝0，由解得； 　　令x＝0，解得y＝8a． 　　∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 　　該拋物線對(duì)稱軸為直線x＝3． 　　∴OA＝2． 　　如圖①，時(shí)拋物線與x軸交點(diǎn)為M，則AM＝1． 　　由題意得：． 　　∴，∴∠O’AM＝60°． 　　∴，即．∴． 　　(2)若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)論同樣成立． 　　(Ⅰ)如圖②，設(shè)點(diǎn)P是邊EF上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)E重合)，連接PM． 　　∵點(diǎn)E(4，4)、F(4，3)與點(diǎn)B(4，0)在一直線上，點(diǎn)C在y軸上， 　　∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB． 　　又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， 　　∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD． 　　∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形． 　　(Ⅱ)設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)， 　　∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4，3)，點(diǎn)G的坐標(biāo)是(5，3)． 　　∴FB＝3，，∴3≤PB＜． 　　∵PC≥4，∴PC＞PB． 　　(3)存在一個(gè)正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形． 　　如圖③，∵點(diǎn)A、B時(shí)拋物線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上， 　　∴PA＝PB． 　　∴當(dāng)PC＝PD時(shí)，線段PA、PB、PC能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形． 　　∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，8a)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3，－a)． 　　點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，t)， 　　∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2． 　　整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28． 　　∵t是一個(gè)常數(shù)且t＞3，∴Δ＝4t2－28＞0 　　∴方程7a2－2ta＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 　　顯然，滿足題意． 　　∵當(dāng)t是一個(gè)大于3的常數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得線段PA、PB、PC能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．