Question

【題目】如圖，拋物線（其中m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC

(1)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，點(diǎn)D是第一象限拋物線上一動點(diǎn)，連接OD，當(dāng)OD的長最小時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)直線經(jīng)過點(diǎn)B，與拋物線交于另一點(diǎn)G，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)B、G、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請說明理由.

(4) 當(dāng)tan∠CBO=時(shí)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線AO方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線BO方向勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，相遇時(shí)停止，在運(yùn)動過程中，以PQ為一邊在x軸上方作正方形PQMN，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.不妨設(shè)正方形PQMN和△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（3）P點(diǎn)為（2，-m-9）（4）當(dāng)PQ≥OC時(shí)S=-2+6，當(dāng)PQ＜OC時(shí)S=9t2-36t+36

【解析】

(1)C點(diǎn)縱坐標(biāo)為當(dāng)x=0時(shí)，y的值，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為當(dāng)y=0時(shí)，x的值.

(2)先根據(jù)題意求出拋物線解析式，再設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)由兩點(diǎn)距離公式即可得到.

(3)先求出 G點(diǎn)坐標(biāo)，在得到GP解析式，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

(4)先求得m的值，再分情況討論當(dāng)PQ≥OC時(shí)與PQ＜OC時(shí)S的值.

（1）∵拋物線（其中m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）

（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）此時(shí)拋物線為y=-（x+2）（x-2）=-x2+2

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2+2）

則OD=

∴當(dāng)x2=時(shí)，即x=時(shí)OD最小.(x=-舍去)

此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

（3）經(jīng)過點(diǎn)B（m，0）

∴b=-m， 即y=x-m

∵

∴x=-m-2

∴G點(diǎn)為（-m-2，-m-1）

∵直線與直線GP垂直

∴GP的解析式為y=-2x+b2

G點(diǎn)帶入得b2=-m-5

∴GP的解析式為y=-2x-m-5

∵P點(diǎn)在對稱軸x=2上

∴y=-2×2-m-5

∴P點(diǎn)為（2，-m-9）

(4) 當(dāng)tan∠CBO=時(shí),,即BO=4

∴m=4

∴拋物線解析式為

設(shè)AP=2t，BQ=t，PQ=6-3t

當(dāng)PQ≥OC時(shí)，即6-3t≥2

t≤

設(shè)PN與AC交于G點(diǎn)，MQ與BC交于H

S=S△ABC-S△AGP-S△BHQ=×6×2-×4t2-t·t=-2+6

當(dāng)PQ＜OC時(shí)，即6-3t＜2

即t＞

S=SPQMN=（6-3t）2=9t2-36t+36.

綜上，當(dāng)PQ≥OC時(shí)S=-2+6，當(dāng)PQ＜OC時(shí)S=9t2-36t+36.