Question

如圖，直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，P是直線AB上的一個動點，點C的坐標為（-4，0），PC交y軸于點D，O是原點．
（1）求△AOB的面積；
（2）直線AB上存在一點P，使以P、C、O為頂點的三角形面積與△AOB面積相等，求點P的坐標；
（3）線段AB上存在一點P，使△DOC≌△AOB，求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用直線方程易求得點A、B的坐標，從而得到線段OA=2，OB=4．所以根據(jù)直角三角形的面積公式來求△AOB的面積；
（2）設P（x，-2x+4）．根據(jù)點C的坐標易求得線段OC=4．所以由直角三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程|-x+2|=1，通過解方程可以求得點P的坐標；
（3）根據(jù)全等三角形的對應邊相等求得線段OD=OA=2，則易求點D的坐標．由點C、D的坐標易求得直線CD的方程，則點P是直線CD與直線AB的交點．

解答：解：（1）如圖，∵直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∴S_AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×2×4=4，即△AOB的面積是4；

（2）∵點P是直線AB上的一個動點，
∴設P（x，-2x+4）．
又∵點C的坐標為（-4，0），
∴OC=4，
∴

1

2

OC×|-2x+4|=4，即|-x+2|=1，
解得，x=1或x=3，
∴點P的坐標為：（1，2）或（3，-2）；

（3）∵△DOC≌△AOB，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2）．
故設直線CD的方程為y=kx+2（k≠0）．則0=-4k+2，
解得，k=

1

2

，
∴直線CD的方程為y=

1

2

x+2（k≠0）．
又∵點P是直線CD與直線AB的交點，
∴

y=-2x+4 y= 1 2 x+2

，
解得

x= 4 5 y= 12 5

，
∴點P的坐標是（

4

5

，

12

5

）．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應用，題中運用點的坐標與圖形的知識求出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．