Question

（2013•江都市二模）如圖所示，A、B兩城市相距200km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么？（參考數(shù)據(jù)：

3

≈1.732，

2

≈1.414）

Answer 1

分析：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC就都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來．根據(jù)AB的長，得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，解出PC的長．從而判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．

解答：解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．
則∠APC=30°，∠BPC=45°，
AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．
∵AC+BC=AB，
∴PC•tan30°+PC•tan45°=200，
即：

3

3

PC+PC=200，
(

3

3

+1)PC=200，
∴PC=

3

3+ 3

×200
=

3(3- 3 )

(3+ 3 )(3- 3 )

×200
=100（3-

3

）
≈100×（3-1.732）≈126.8＞100．
答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．

點(diǎn)評：本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．