Question

【題目】如圖，四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=CD=6， ∠C=60°．點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△HBE ．

（1）當(dāng)點(diǎn)B、D、H三點(diǎn)在一直線上時，求線段AE的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)A的對稱點(diǎn)H正好落在DC上時，有動點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)沿線段HB向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動，速度均為每秒1個單位長度，連接PQ交折痕BE于點(diǎn)M．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

① 探究：當(dāng)時間t為何值時，△PBM為等腰三角形；

② 連接AM，請直接寫出BM＋2AM的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）AE=6-9；（2）①t=2s或s；②6

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求AD=DB=3，AB=AD=3，由折疊的性質(zhì)可得AB=BH=3，AE=EH，∠A=∠EHB=90°，由勾股定理可求解；

（2）①分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；

②過點(diǎn)M作MN⊥BH于N，連接AN，由三角形三邊關(guān)系可得BM+AM≥AN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)N三點(diǎn)共線，且AN⊥BH時，BM+AM有最小值，即BM+2AM有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵BC=CD=6，∠C=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴BD=BC=CD=6，∠C=∠DBC=∠BDC=60°，

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=60°，

∴∠ABD=30°，

∴AD=DB=3，AB=AD=3，

當(dāng)點(diǎn)B、D、H三點(diǎn)在一直線上時，如圖，

∵將△ABE沿BE翻折得到△HBE，

∴AB=BH=3，AE=EH，∠A=∠EHB=90°，

∴DH=6-3，

∵DE2=EH2+DH2，

∴（3-AE）2=AE2+（6-3）2，

∴AE=6-9

（2）①∵將△ABE沿BE翻折得到△HBE，當(dāng)點(diǎn)A的對稱點(diǎn)H正好落在DC上，且∠ADB=∠CDB=60°，

∴點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，AB=BH=2，∠ABE=∠HBE=30°，

如圖，若BM=PM時，則∠MPB=∠MBP=30°，

∴∠QMB=60°，

∴∠BQP=90°，

又∵∠QPB=30°，

∴BP=2QB，

∴2-t=t，

∴t=，

如圖，若BM=BP時，則∠BPM=∠BMP=75°，

∴∠BQM=∠BMP-∠ABD=45°，

過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，

∴△PFQ是等腰直角三角形，

∴PF=FQ，

∵∠PBF=60°，PF⊥AB，

∴∠BPF=30°，

∴BF=BP=（2-t），PF=BF=（2-t）=QF，

∵BQ=BF+QF，

∴t=（2-t）+（2-t），

∴t=2，

當(dāng)BP=PM時，不合題意舍去，

綜上所述：當(dāng)t=2s或s時，△PBM為等腰三角形；

②如圖，過點(diǎn)M作MN⊥BH于N，連接AN，

∵∠MBN=30°，MN⊥BH，

∴MN=BM，

∴BM+2AM=2（BM+AM），

∵M(jìn)N+AM≥AN，

∴BM+AM≥AN，

∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)N三點(diǎn)共線，且AN⊥BH時，BM+AM有最小值，即BM+2AM有最小值，

此時，AN⊥BH，∠ABN=60°，

∴BN=AB=，AN=BN=3，

∴BM+2AM最小值為6，

故答案為：6．