Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線(xiàn)段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線(xiàn)C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l∥AD，與線(xiàn)段CD的交點(diǎn)為E，與折線(xiàn)A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；

（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線(xiàn)段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2013070412154208152048/SYS201307041217579870866151_ST.files/image007.png">是否為定值，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）或  （3）

【解析】

試題分析：     

（1）依題意知，直角梯形ABCD中，CD∥AB。當(dāng)t＜2時(shí)可證明△ECQ∽△MAQ。

當(dāng)t=0.5時(shí)，AM=DE=0.5，則CE="2-0.5=1.5" 則因?yàn)镋C：AM=EQ：QM。所以1.5:0.5=EQ：QM。所以EQ=3QM。因?yàn)镋M=AD=4

所以QM=1

（2）依題意知△CPQ為直角三角形，且0＜t＜2時(shí)。故有兩種情況：

①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，

此時(shí)DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，

②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，此時(shí)Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，∴

由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，

∴

③當(dāng)2＜t≤6時(shí)，可得CD=DP=2時(shí)，∠DCP=45°，可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，此時(shí)t=4（舍去），綜上所述，t=1或t=

（3）

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)和幾何綜合問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，分類(lèi)討論時(shí)要考慮全面，根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．