Question

【題目】如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC＝CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點E、點F.

(1)求證：AD是⊙O的切線；

(2)連接OC，交⊙O于點G，若AB＝8，求線段CE、CG與圍成的陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）已知△ABC為等邊三角形，可得AC=BC，又因AC=CD，所以AC=BC=CD，即可判定△ABD為直角三角形，再根據切線的判定推出結論；（2）連接OE，分別求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面積，根據S陰影=S△AOC﹣S等邊△AOE﹣S扇形EOG即可求得S．

試題解析：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=BC，

又∵AC=CD，

∴AC=BC=CD，

∴△ABD為直角三角形，

∴AB⊥AD，

∵AB為直徑，

∴AD是⊙O的切線；

（2）解：連接OE，

∵OA=OE，∠BAC=60°，

∴△OAE是等邊三角形，

∴∠AOE=60°，

∵CB=BA，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠AOC=90°，

∴∠EOC=30°，

∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，

∴AO=2，由勾股定理得：OC=，

同理等邊三角形AOE邊AO上高是，

S陰影=S△AOC﹣S等邊△AOE﹣S扇形EOG=．