Question

某項工作，甲單獨作完成的天數(shù)為乙、丙合作完成天數(shù)的m倍，乙單獨作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的n倍，丙單獨作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的k倍，則

m

m+1

+

n

n+1

+

k

k+1

=

 

．

Answer 1

分析：由于

m

m+1

+

n

n+1

+

k

k+1

=（1-

1

m+1

）+（1-

1

n+1

）+（1-

1

k+1

）=3-（

1

m+1

+

1

n+1

+

1

k+1

），所以關鍵是分別求出

1

m+1

、

1

n+1

、

1

k+1

的值．設甲、乙、丙單獨工作分別需x天、y天、z天．根據(jù)“甲單獨作完成的天數(shù)為乙、丙合作完成天數(shù)的m倍”，可得x=

m

1 y + 1 z

，運用比例的基本性質(zhì)、等式的性質(zhì)及分式的基本性質(zhì)可得

1

m+1

=

yz

xy+yz+zx

；同理，根據(jù)“乙單獨作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的n倍”，可得

1

n+1

=

xz

xy+yz+zx

；根據(jù)“丙單獨作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的k倍”，可得

1

k+1

=

xy

xy+yz+zx

，將它們分別代入所求代數(shù)式，即可得出結(jié)果．

解答：解：設甲、乙、丙單獨工作分別需x天、y天、z天．
由題意，有x=

m

1 y + 1 z

①，y=

n

1 x + 1 z

②，z=

k

1 x + 1 y

③．
由①得m=

x

y

+

x

z

，
∴m+1=

x

y

+

x

z

+1，
∴

1

m+1

=

1

x y + x z +1

=

yz

xz+xy+yz

，
即

1

m+1

=

yz

xy+yz+zx

；
同理，由②得

1

n+1

=

xz

xy+yz+zx

；
由③得

1

k+1

=

xy

xy+yz+zx

，
∴

m

m+1

+

n

n+1

+

k

k+1

，
=（1-

1

m+1

）+（1-

1

n+1

）+（1-

1

k+1

），
=3-（

1

m+1

+

1

n+1

+

1

k+1

），
=3-（

yz

xz+xy+yz

+

xz

xy+yz+zx

+

xy

xy+yz+zx

），
=3-1，
=2．
故答案為2．

點評：本題主要考查分式方程在工程問題中的應用及代數(shù)式求值．工程問題的基本關系式為：工作總量=工作效率×工作時間．注意兩人合作的工作效率等于兩人單獨作的工作效率之和．本題難點在于將列出的方程變形，用含有x、y、z的代數(shù)式分別表示

1

m+1

、

1

n+1

、

1

k+1

的值．