Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE=∠CBE．

（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；

（2）求證：BG²﹣GE²=EA²．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理。

解答：證明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，

∵在△DBH和△DCA中xk b1 .co m

∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，

∴△DBH≌△DCA，

∴BH=AC．

（2）連接CG，

∵F為BC的中點(diǎn)，DB=DC，

∴DF垂直平分BC，

∴BG=CG，

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，

∴∠AEB=∠CEB，

在△ABE和△CBE中

∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE，

∴EC=EA，

在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG²﹣GE²=EA²．