Question

如圖，正三角形ABC的中心O恰好為扇形DOE的圓心，且點(diǎn)B在扇形內(nèi)，要使扇形DOE繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，△ABC與扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的，扇形的圓心角(∠DOE)應(yīng)為多少度？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

解　　如圖． 　　①當(dāng)OD過(guò)B點(diǎn)、OE過(guò)C點(diǎn)時(shí)，連結(jié)AO，則 　　△AOB≌△AOC≌△BOC， 　　從而　　∠BOC＝， 　　S△OBC＝S△ABC． 　　所以當(dāng)扇形的圓心角為，且OD經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC面積的． 　�、诋�(dāng)扇形轉(zhuǎn)到OD與AB交于點(diǎn)F，OE與BC交于點(diǎn)G時(shí)，連結(jié)OB、OC．因?yàn)镺點(diǎn)是正三角形ABC的中心，所以 　　∠BOC＝，∠FBO＝∠GCO＝，BO＝CO． 　　只有當(dāng)∠FOG＝∠BOC，使∠FOB＝∠COG時(shí)，才有 　　△FOB≌△GOC， 　　從而重疊部分OFBG的面積為△ABC的面積的． 　　所以應(yīng)有　　∠DOE＝． 　　分析　　如上圖，可以先考慮特殊情況，當(dāng)扇形轉(zhuǎn)至OD處于OB的位置時(shí)，由于O是正三角形的中心，連結(jié)OC，可知S△OBC＝S△ABC，此時(shí)∠BOC＝，所以當(dāng)∠DOE＝∠BOC＝時(shí)，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC面積的；再考慮一般情況時(shí)，要說(shuō)明△ABC與扇形重疊部分的面積為△ABC面積的，可轉(zhuǎn)化為特殊情況，所以只要證△OBF≌△OCG即可．