Question

（2012•湖北模擬）如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4，D為OC邊的中點(diǎn)，將△DCB沿直線BD對(duì)折，C點(diǎn)落在M處，連接BM并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)E，OA，OC分別在x軸和y軸的正半軸上．
（1）求線段OE的長(zhǎng)；
（2）求經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線上的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、E、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用已知得出Rt△DOE≌Rt△DME，進(jìn)而利用Rt△CBD∽R(shí)t△ODE得出EO的長(zhǎng)即可；
（2）利用對(duì)稱軸是直線x=2，以及E，D坐標(biāo)，代入解析式求出即可；
（3）①如圖2，當(dāng)PE∥BD，PE≠BD時(shí)，四邊形PEDB是梯形；②當(dāng)PD∥BE，PD≠BE時(shí)，四邊形PDEB為梯形；③當(dāng)PB∥DE，PB≠DE時(shí)，四邊形PDEB為梯形，分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：（1）解：連接BD，
∵四邊形ABCO為正方形，D為OC的中點(diǎn)，
∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2，∠BCO=COA=∠OAB=90°
∵△BCD與△BMD關(guān)于BD對(duì)稱，
∴△BCD≌△BMD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，DM=DC=DO=2，∠CDB=∠MDB，
在Rt△DOE和Rt△DME中
∵

DM=DO DE=DE

，
∴Rt△DOE≌Rt△DME，
∴∠ODE=∠MDE，
∴∠ODE+∠CBD=180°÷2=90°，
而∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ODE=∠CBD，
∴Rt△CBD∽R(shí)t△ODE，
∴

OE

OD

=

CD

CB

=

1

2

，
∴OE=

1

2

OD=1．

（2）由（1）知，D（0，2），E（1，0），
設(shè)過D，E兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，得

c=2 a+b+c=0 b=2×(-2a)

解得

a= 2 3 b=- 8 3 c=2

，
故y=

2

3

x2-

8

3

x+2；

（3）存在點(diǎn)P，使以P、E、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分三種情況討論：
①如圖2，當(dāng)PE∥BD，PE≠BD時(shí)，四邊形PEDB是梯形．
設(shè)直線PE交y軸于點(diǎn)F，
易證Rt△DEO∽R(shí)t△EOF，
可得OF=

1

2

，
則F（0，-

1

2

）
過E，F(xiàn)兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法可求直線PE 的解析式為：y=

1

2

x-

1

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，

1

2

），
②如圖3，當(dāng)PD∥BE，PD≠BE時(shí)，四邊形PDEB為梯形．
設(shè)直線PD交x軸于點(diǎn)G．
∵PD∥DE，
∴∠GDE=∠DEB，
∵∠DEG=∠DEB，
∴∠GDE=∠DEG，
∴GD=GE，
設(shè)OG=m，在Rt△DGO中，OG²+OD²=DG²，OD=2，OE=1，
易求m=

3

2

，
則G（-

3

2

，0），
過D，G兩點(diǎn)用待定系數(shù)法可求直線PD 的解析式為：y=

4

3

x+2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

14

3

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，

14

3

）；
③如圖4，當(dāng)PB∥DE，PB≠DE時(shí)，四邊形PDEB為梯形．
設(shè)直線PB交x軸于點(diǎn)H，
∵PB∥DE，
∴∠DEB=∠EBH，∠DEO=∠BH0，
∵∠DEO=∠DEB，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EB=EH，
在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，
∴BE=5=EH，
∴OH=OE+EH=1+5=6，
∴H（6，0），
過B，H兩點(diǎn)用待定系數(shù)法可求直線PB的解析式為：y=-2x+12，
當(dāng)x=2時(shí)，y=8，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，8）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，

1

2

），（2，

14

3

），（2，8）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次、二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)和梯形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．