已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-3,6),并與x軸交于點B(-1,0)和點C,頂點為P.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式,并在下面的坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象;
(2)設D為線段OC上的一點,滿足∠DPC=∠BAC,求點D的坐標;
(3)在x軸上是否存在一點M,使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切?如果存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法求出b,c的值后可求出該函數(shù)的解析式;
(2)證明△DPC∽△BAC,利用線段比求出各相關(guān)線段的值后易求點C的坐標;
(3)過M作MH⊥AC,MG⊥PC,推出△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的內(nèi)切圓圓心,根據(jù)直線與圓的關(guān)系進行解答.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點A(-3,6),B(-1,0),
,
解得
∴這個二次函數(shù)的解析式為:
y=x2-x-.(4分)
由解析式可求P(1,-2),C(3,0),(5分)
畫出二次函數(shù)的圖象;(6分)

(2)解法一:
易證:∠ACB=∠PCD=45°,
又已知:∠DPC=∠BAC,
∴△DPC∽△BAC,(8分)

易求AC=6,PC=2,BC=4,
∴DC=
∴OD=3-
∴D(,0).(10分)
解法二:過A作AE⊥x軸,垂足為E,
設拋物線的對稱軸交x軸于F,
亦可證△AEB∽△PFD,(8分)
,
易求:AE=6,EB=2,PF=2,
∴FD=
∴OD=+1=,
∴D(,0);(10分)

(3)存在.
①過M作MH⊥AC,MG⊥PC垂足分別為H、G,設AC交y軸于S,CP的延長線交y軸于T,
∵△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的內(nèi)切圓圓心,
∴MG=MH=OM,(11分)
又∵MC=OM且OM+MC=OC,
OM+OM=3,
得OM=3-3,
∴M(3-3,0)(12分)
②在x軸的負半軸上,存在一點M′,
同理OM′+OC=M′C,OM′+OC=OM′
得OM′=3+3
∴M′(14分)
即在x軸上存在滿足條件的兩個點.
點評:本題綜合考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識以及直線與圓的關(guān)系,難度較大.
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A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4

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(2)求y的最大值;
(3)寫出當y>0時,x的取值范圍.

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