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(2010•福州)如圖,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一邊QP在邊上,E、F兩點(diǎn)分別在A(yíng)B、AC上,AD交EF于點(diǎn)H.
(1)求證:;
(2)設(shè)EF=x,當(dāng)x為何值時(shí),矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí),該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線(xiàn)QC勻速運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】分析:(1)易證得△AEF∽△ABC,而AH、AD是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高,EF、BC是對(duì)應(yīng)邊,它們的比都等于相似比,由此得證;
(2)此題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解;由(1)的結(jié)論可求出AH的表達(dá)式,進(jìn)而可得到HD(即FP)的表達(dá)式;已求得了矩形的長(zhǎng)和寬,即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的x的值;
(3)此題要理清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),當(dāng)矩形的面積最大時(shí),由(2)可知此時(shí)EF=5,EQ=4;易證得△CPF是等腰Rt△,則PC=PF=4,QC=QP+PC=9;
一、P、C重合時(shí),矩形移動(dòng)的距離為PC(即4),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4s;
二、E在線(xiàn)段AC上時(shí),矩形移動(dòng)的距離為9-4=5,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5s;
三、Q、C重合時(shí),矩形運(yùn)動(dòng)的距離為QC(即9),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9s;
所以本題要分三種情況討論:
①當(dāng)0≤t<4時(shí),重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰Rt△FMN(設(shè)AC與FE、FP的交點(diǎn)為M、N)的面積差,F(xiàn)M的長(zhǎng)即為梯形移動(dòng)的距離,由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)4≤t<5時(shí),重合部分是個(gè)梯形,可用t表示出梯形的上下底,進(jìn)而由梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)關(guān)系式;
③當(dāng)5≤t≤9時(shí),重合部分是個(gè)等腰直角三角形,其直角邊的長(zhǎng)易求得,即可得出此時(shí)S、t的函數(shù)關(guān)系式.
解答:(1)證明:∵四邊形EFPQ是矩形,∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC,
∴AH⊥EF;
=;

(2)解:由(1)得=,∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8-x)=-x2+8x=-(x-5)2+20
∵-<0,
∴當(dāng)x=5時(shí),S矩形EFPQ有最大值,最大值為20;

(3)解:如圖1,由(2)得EF=5,EQ=4
∵∠C=45°,△FPC是等腰直角三角形.
∴PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9
分三種情況討論:
①如圖2,當(dāng)0≤t<4時(shí),
設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N,
則△MFN是等腰直角三角形;
∴FN=MF=t
∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20

②如圖3
當(dāng)4≤t<5時(shí),則ME=5-t,QC=9-t,
∴S=S梯形EMCQ=[(5-t)+(9-t)]×4=-4t+28

③如圖4
當(dāng)5≤t≤9時(shí),設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K,則KQ=QC=9-t
∴S=S△KQC=(9-t)2=(t-9)2
綜上所述:S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
S=
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了矩形、等腰直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.
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(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,判斷點(diǎn)C是否在該拋物線(xiàn)上,并說(shuō)明理由;
(3)如圖2,在(2)的條件下,⊙O1是以BC為直徑的圓.過(guò)原點(diǎn)O作O1的切線(xiàn)OP,P為切點(diǎn)(P與點(diǎn)C不重合),拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使得以PQ為直徑的圓與O1相切?若存在,求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(3)如圖2,在(2)的條件下,⊙O1是以BC為直徑的圓.過(guò)原點(diǎn)O作O1的切線(xiàn)OP,P為切點(diǎn)(P與點(diǎn)C不重合),拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使得以PQ為直徑的圓與O1相切?若存在,求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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