Question

11、已知a、b、c為實數(shù)．證明：（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²這四個代數(shù)式的值中至少有一個不小于a²+b²+c²的值，也至少有一個不大于a²+b²+c²的值．

Answer 1

分析：假設（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²都小于a²+b²+c²，得出假設不成立，再假設（a+b+c）² （a+b-c）² （b+c-a）² （c+a-b）²都大于a²+b²+c²，得出命題不成立，即可得出答案．

解答：解：如果（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²都小于a²+b²+c²，
則 （a+b+c）²+（a+b-c）²+（b+c-a）²+（c+a-b）²＜4（a²+b²+c²），
∴（a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac）+（a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc）+（b²+c²+a²+2bc-2ac-2ab）+（c²+a²+b²+2ac-2bc-2ab）＜4（a²+b²+c²），
整理得：0＜0，明顯不成立． 故這四個代數(shù)式的值中至少有一個不小于a²+b²+c²的值；
同理，如果（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²都大于a²+b²+c²，
可得0＞0 也不成立，
故（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²這四個代數(shù)式的值中至少有一個不小于a²+b²+c²的值，也至少有一個不大于a²+b²+c²的值，命題得證．

點評：此題主要考查了簡單的極端原理，利用極值法得出假設不成立得出命題正確是解問題的關(guān)鍵．