11、已知a、b、c為實數(shù).證明:(a+b+c)2、(a+b-c)2、(b+c-a)2、(c+a-b)2這四個代數(shù)式的值中至少有一個不小于a2+b2+c2的值,也至少有一個不大于a2+b2+c2的值.
分析:假設(a+b+c)2、(a+b-c)2、(b+c-a)2、(c+a-b)2都小于a2+b2+c2,得出假設不成立,再假設(a+b+c)2 (a+b-c)2 (b+c-a)2 (c+a-b)2都大于a2+b2+c2,得出命題不成立,即可得出答案.
解答:解:如果(a+b+c)2、(a+b-c)2、(b+c-a)2、(c+a-b)2都小于a2+b2+c2,
則 (a+b+c)2+(a+b-c)2+(b+c-a)2+(c+a-b)2<4(a2+b2+c2),
∴(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)+(a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc)+(b2+c2+a2+2bc-2ac-2ab)+(c2+a2+b2+2ac-2bc-2ab)<4(a2+b2+c2),
整理得:0<0,明顯不成立. 故這四個代數(shù)式的值中至少有一個不小于a2+b2+c2的值;
同理,如果(a+b+c)2、(a+b-c)2、(b+c-a)2、(c+a-b)2都大于a2+b2+c2,
可得0>0 也不成立,
故(a+b+c)2、(a+b-c)2、(b+c-a)2、(c+a-b)2這四個代數(shù)式的值中至少有一個不小于a2+b2+c2的值,也至少有一個不大于a2+b2+c2的值,命題得證.
點評:此題主要考查了簡單的極端原理,利用極值法得出假設不成立得出命題正確是解問題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c為實數(shù),且滿足下式:a2+b2+c2=1,①,a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
b
)=-3
;②求a+b+c的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知a、b、c為實數(shù),設A=a2-2b+
π
3
,B=b2-2c+
π
3
,C=c2-2a+
π
3

(1)判斷A+B+C的符號并說明理由;
(2)證明:A、B、C中至少有一個值大于零.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知a、b、c為實數(shù),且
ab
a+b
=
1
3
,
bc
b+c
=
1
4
,
ca
c+a
=
1
5
.求
abc
ab+bc+ca
的值

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

14、已知a,b,c為實數(shù),下列命題中,假命題是( �。�

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c為實數(shù),且多項式x3+ax2+bx+c能夠被x2+3x-4整除.
(1)求4a+c的值;
(2)求2a-2b-c的值.

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