Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB=AC，過點B作射線BP交AD，AC分別于E，F(xiàn)兩點，與過點C平行于AB的直線交于點P．
（1）求證：EB²=EF•EP；
（2）若過點B的射線交AD，AC的延長線分別于E，F(xiàn)兩點，與過點C的平行于AB的直線交于點P，則結論（1）是否成立？若成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CE，由等腰三角形的性質(zhì)，可得AD是BC的垂直平分線，則可得EB=EC，然后證得△EFC∽△ECP，由相似三角形的對應邊成比例，即可證得EB²=EF•EP；
（2）同理連接CE，由等腰三角形的性質(zhì)，可得AD是BC的垂直平分線，則可得EB=EC，然后證得△EFC∽△ECP，由相似三角形的對應邊成比例，即可證得EB²=EF•EP．

解答：（1）證明：連接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠1=∠2，
∵AB∥PC，
∴∠1=∠P，
∴∠2=∠P，
∵∠3是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF•EP；

（2）連接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC+∠EBC=∠ACB+∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
∵AB∥PC，
∴∠ABE=∠CPF，
∴∠ACE=∠CPF，
∵∠F=∠ACE-∠1，∠PCE=∠CPF-∠1，
∴∠PCE=∠F，
∵∠1是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF•EP．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．