Question

已知二次函數(shù)

（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）設(shè)a<0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式．

（3）在（2）的條件下，若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；（2）；（3）(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)

【解析】

試題分析：（（1）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，求出△的值，若為正數(shù)，則此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離公式解答即可．

試題解析：（1）因?yàn)椤?

所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)

（2）設(shè)x₁、x₂是的兩個(gè)根，則，，因兩交點(diǎn)的距離是，所以

即：

變形為：

所以：

整理得：

解方程得：

又因?yàn)椋篴<0

所以：a=－1

所以：此二次函數(shù)的解析式為

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，所以：AB=

所以：S_△PAB=

所以：

即：，則

當(dāng)時(shí)，，即

解此方程得：=－2或3

當(dāng)時(shí)，，即

解此方程得：=0或1

綜上所述，所以存在這樣的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合.