Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是BC邊上一點(diǎn)，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面積為y，用含x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

分析 Rt△ADQ中，已知了直角邊AD的長(zhǎng)，欲求其面積，需求得直角邊DQ的長(zhǎng)，已知∠APQ=90°，顯然△ABP∽△PCQ，用x表示出BP、CP的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得CQ的表達(dá)式，可得到DQ的表達(dá)式，從而根據(jù)直角三角形的面積公式求出y、x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CQ}$．
∴CQ=$\frac{BP•PC}{AB}$=$\frac{x（4-x）}{4}$=$\frac{1}{4}$x²+x．
∴DQ=$\frac{1}{4}$x²-x+4
∴S_△ADQ=$\frac{1}{2}$AD•DQ=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{4}$x²-x+4）=$\frac{1}{2}$x²-2x+8．
∴y=$\frac{1}{2}$x²-2x+8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，求得DQ的長(zhǎng)度（用含x的代數(shù)式表示）是解題的關(guān)鍵．