Question

【題目】如圖，，點是邊上的點，平分，平分，有下列結論：①，②為的中點，③，④，其中正確的有______.（填序號）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

根據兩直線平行，同旁內角互補可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分線，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，從而得到∠BEC=90°，然后延長BE交CD的延長線于點F，先證明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后證明△ABE≌△FDE（ASA），從而可以證明②③正確，AD與BC不一定相等，所以①不正確．

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，

∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD，

∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)=90°，

∴∠BEC=180°(∠EBC+∠ECB)=180°90°=90°，

∴BE⊥CE

故④正確；

如圖，延長BE交CD延長線于F，

∵∠BEC=90°，

∴CE⊥BF，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠FCE，

在△BCE與△FCE中，

∠BCE=∠FCE，EC=EC，∠BEC=∠FEC=90°，

∴△BCE≌△FFE(ASA)，

∴BC=FC，BE=FE，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠F，

在△ABE與△FDE中，

∠ABE=∠F，BE=FE，∠AEB=∠FED，

∴△ABE≌△FDE(ASA)，

∴AB=DF，

∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③正確；

∵△ABE≌△FDE，

∴AE=DE，即點E為AD的中點，故②正確；

∵AD≠BC，

∴AD≠CD+AB，故①錯誤；

故答案為：②③④.