Question

（2012•南湖區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=2，
OB=4，P為線段AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過P點(diǎn)，Q是該反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)Q的直線交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，且QC=QD．下列結(jié)論：①k=2；②S_△COD=4；③OP=OQ；④AD∥CB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據(jù)點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=2，OB=4，可得A點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）B點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），再根據(jù)P為線段AB的中點(diǎn)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)（1，2），根據(jù)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過P點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可得K=2；
②根據(jù)Q是該反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，設(shè)Q點(diǎn)（a，

2

a

），經(jīng)過點(diǎn)Q的直線交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，且QC=QD，Q為CD的中點(diǎn)可得C、D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式，可得S_△COD=

1

2

×2a×

4

a

=4；
③根據(jù)OP=OQ可得Q（2，1），即當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，1）時(shí)，該結(jié)論才成立；
④根據(jù)兩直線中K相等B不相等兩直線平行，即k_ad=-

2

a

；k_cb=-

2

a

，kad=k cb，可得AD∥CB．

解答：解：①∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=2，OB=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）B點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），
∵P為線段AB的中點(diǎn)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（1，2），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過P點(diǎn)，
∴2=

k

1

，∴K=2，原說法正確，故①符合題意；
②由Q是該反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，設(shè)Q點(diǎn)（a，

2

a

），
∵經(jīng)過點(diǎn)Q的直線交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，且QC=QD，Q是CD的中點(diǎn)，
∴C（2a，0）D（0，

4

a

）
S_△COD⁼

1

2

×2a×

4

a

=4，原說法正確，故②符合題意；
③設(shè)Q點(diǎn)為（a，

2

a

），
由OP=OQ即

(0-1)2+(0-2)2

=

(0-a)2+(0- 2 a )2

，
解得a=±2或a=±1，
即Q（2，1），（-2，-1），（1，2），（-1，-2）
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象位于第一象限，
∴Q（-2，-1），（-1，-2）不在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∵點(diǎn)Q異于點(diǎn)P（1，2），存在Q點(diǎn)（2，1）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴只有當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，1）時(shí)，OP=PQ才成立，故③不符合題意；
④∵k_ad=-

2

a

；k_cb=-

2

a

，kad=k cb，
∴AD∥CB，原說法正確，故④符合題意．
故應(yīng)該選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足解析式，以解析式為坐標(biāo)的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，待定系數(shù)法求解析式，直線解析式中k相等b不相等時(shí)，兩直線平行．要注意認(rèn)真分析每一結(jié)論，得出正確答案．