Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線是由拋物線y=x²-3向右平移一個(gè)單位后得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3．
（1）求點(diǎn)M、A、B坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）點(diǎn)P是頂點(diǎn)為M的拋物線上一點(diǎn)，且位于對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當(dāng)α=∠ABM時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）拋物線y=x²-3向右平移一個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）²-3，
頂點(diǎn)M（1，-3），
令x=0，則y=（0-1）²-3=-2，
點(diǎn)A（0，-2），
x=3時(shí)，y=（3-1）²-3=4-3=1，
點(diǎn)B（3，1）；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AO于E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴==，
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，
∴tan∠ABM==；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，
∵y=（x-1）²-3=x²-2x-2，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，x²-2x-2），
①點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，=，
整理得，3x²-7x-6=0，
解得x₁=-（舍去），x₂=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；
②點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，=，
整理得，3x²-5x-6=0，
解得x₁=（舍去），x₂=，
x=時(shí)，x²-2x-2=-×=-，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（，-）．
分析：（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加寫(xiě)出平移后的拋物線解析式，然后寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，令x=0求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，把x=3代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AO于E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出，再求出∠BAM=90°，然后根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式即可得解；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，分點(diǎn)P在x軸的上方和下方兩種情況利用α的正切值列出方程求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，難點(diǎn)在于作輔助線并分情況討論．