Question

【題目】已知拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的頂點為A，與y軸交于點C，過C作CB∥x軸交拋物線于點B，過點B作直線l⊥x軸，連結OA并延長，交l于點D，連結OB．

(1)當a=﹣2時，求線段OB的長．

(2)是否存在特定的a值，使得△OBD為等腰三角形？若存在，請寫出計算過程并求出a的值；若不存在，請說明理由．

(3)設△OBD的外心M的坐標為(m，n)，求m與n的數量關系式．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）a=﹣1或- （3）m=3n2+2

【解析】

（1）把a=-2代入y=-2（x-1）（x-3）=-2x2+8x-6，解方程得到點C（0，-6），根據勾股定理即可得到結論；
（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），過A作AE⊥x軸于點E，AE延長線與CB交于點F，根據三角形的中位線的性質得到DG=2AE=-2a，求得BD=DG+BG=-5a，當△OBD為等腰三角形時，①當OB=BD=-5a，②當OD=BD=-5a時，③當OD=OB時，DG=BG，解方程即可得到結果；
（3）根據已知條件得到點M在BD的垂直平分線上，OM=MD，求得n=a，根據勾股定理列方程即可得到結論．

(1)當a=﹣2時，y=﹣2(x﹣1)(x﹣3)=﹣2x2+8x﹣6，

當x=0時，得y=﹣6，

∴點C(0，﹣6)，

當y=﹣6時，即﹣6=﹣2x2+8x﹣6，

解得：x=0，或x=4，

∴點B(4，﹣6)，

∴BC=4，OC=6，

∴OB═ =2 ；

(2)在y═a(x﹣1)(x﹣3)中，令x═0，得y═3a，

∴C(0，3a)，B(4，3a)，

∵點A是拋物線的頂點，

∴A(2，－a)，

過A作AE⊥x軸于點E，AE延長線與CB交于點F，

將BD與x軸的交點記為點G，

則E為OG的中點，

∵AE∥BD，

∴DG=2AE=﹣2a，

∴BD=DG+BG=﹣5a，

當△OBD為等腰三角形時，分類討論：

①當OB=BD=﹣5a，在Rt△OBC中，BC=﹣4a=4，

∴a=﹣1，

②當OD=BD=﹣5a時，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2=16，

∴a=±；∵a<0

∴a=-

③當OD=OB時，DG=BG，但﹣2a≠﹣3a，

∴此種情況不可能；

∴a=﹣1或-；

(3)∵BD=DG+BG=﹣5a，

∵點M是△OBD的外心，

∴點M在BD的垂直平分線上，OM=MD，

∴n=a，

∵M(m，n)，D(4，﹣2a)，

∴(﹣a)2+m2=(﹣a)2+(4﹣m)2，

∴8m=6a2+16，

∵n=a，

∴8m=24n2+16，

整理上式，得：m=3n2+2．