Question

（2011•長寧區(qū)一模）如圖，在直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=2OA，A（-1，2）．
（1）分別過點A、B作x軸的垂線，垂足是C、D．求證：△ACO∽△ODB；
（2）求B點的坐標；
（3）設過A、B、C三點的拋物線的對稱軸為直線l，在直線l上求點P，使得S_△ABP=S_△ABO．

Answer 1

分析：（1）根據OB⊥OA和OB=2OA得出∠A=∠2，求出∠ACO=∠ODB=90°，即可求出△ACO∽△ODB；
（2）此題可通過構建相似三角形來求解，分別過A、B作x軸的垂線，由于∠AOB=90°，則可證得△AOC∽△OBD，然后利用兩個三角形的相似比（即OB=2OA），求出點B的坐標；
（3）根據A和B點的坐標得出它們的縱坐標相同，即可求出拋物線的對稱軸L為直線x=

3

2

，再分兩種情況進行分析點P在直線l上距AB距離為2時△ABO與△ABP面積相等，即可求出P點的坐標．

解答：（1）證明：OB⊥OA，且OB=2OA，
∴∠1+∠2=90°，
∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴△ACO∽△ODB；

（2）解：分別作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別是C、D；
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，而∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO；
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC∽△OBD；
∵OB=2OA，
∴

OA

OB

=

OC

BD

=

AC

OD

=

1

2

則OD=2AC=4，DB=2OA=2，
所以點B（4，2）

（3）解：∵A（-1，2），B（4，2）縱坐標相同，
∴拋物線的對稱軸L為直線x=

3

2

，
當點P在直線l上且距AB距離為2時，△ABO與△ABP面積相等，P點的坐標為（

3

2

，0）或（

3

2

，4）．

點評：此題考查了二次函數的綜合；解題的關鍵是根據拋物線的頂點公式和三角形的面積求法進行解答，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．