Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半徑為3．
（1）若圓心O與C重合時，⊙O與AB有怎樣的位置關系？
（2）若點O沿線段CA移動，當OC等于多少時，⊙O與AB相切？

Answer 1

（1）解：
過O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB===13，
由三角形的面積公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=＞3，
∴⊙O與AB的位置關系是相離．

（2）解：①過O作OD⊥AB于D，當OD=3時，⊙O與AB相切，
∵OD⊥AB，∠C=90°，
∴∠ODA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴=
即=，
∴AO=，
∴OC=5-=，
②如圖
過O作OD⊥BA交BA延長線于D，
則∠C=∠ODA=90°，∠BAC=∠OAD，
∴△BCA∽△ODA，
∴=，
∴=，
OA=，
OC=5+=
答：若點O沿線段CA移動，當OC等于或時，⊙O與AB相切
分析：（1）過O作OD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根據三角形的面積公式求出OD，把OD和3比較即可得出答案；
（2）過O作OD⊥AB于E，OD=3時，⊙O與AB相切，證△ADO和△ACB相似，得出比例式，代入即可求出OC．
點評：本題考查了直線與圓的位置關系，三角形的面積，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的運用，注意：判斷直線與圓的位置關系的思路是過圓心作直線的垂線，比較垂線段的長和半徑的大小即可．