觀察下列等式:12+(1×2)2+22=9=(12+1+1)2,22+(2×3)2+32=49=(22+2+1)2,32+(3×4)2+42=169=(32+3+1)2,42+(4×5)2+52=441=(42+4+1)2,52+(5×6)2+62=961=(52+5+1)2,…
(1)根據(jù)以上運(yùn)算,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律,用含有n(n為正整數(shù))的等式表示該規(guī)律;
(2)請(qǐng)用分解因式的知識(shí)說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性.
解:(1)規(guī)律:n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=(n2+n+1)2;
(2)說明:n2+[n(n+1)]2+(n+1)2
=n2+n2(n+1)2+(n+1)2
=n2(1+n2+2n+1)+(n+1)2
=n2[n2+2(n+1)]+(n+1)2
=n4+2n2(n+1)+(n+1)2
=(n2+n+1)2.
分析:(1)根據(jù)已知的等式,發(fā)現(xiàn):等式的左邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和加上兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積的平方,等式的右邊是較小自然數(shù)的平方加上較小的自然數(shù)加上1的和的平方;
(2)運(yùn)用提公因式法、完全平方公式進(jìn)行整理證明.
點(diǎn)評(píng):此題考查了因式分解在代數(shù)式中的運(yùn)用,能夠靈活運(yùn)用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算.