Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．點(diǎn)O為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OD，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O分別交線(xiàn)段AB、OD于點(diǎn)P、M，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)N，連接AC、MN，AC交線(xiàn)段OD于點(diǎn)E．
（1）求梯形對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)到使⊙O與對(duì)角線(xiàn)AC相切時(shí)，求⊙O的半徑OB．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)到使⊙O與線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N時(shí)，以C為圓心，CN為半徑作⊙C，則⊙C與⊙O相內(nèi)切，求⊙C的半徑CN的最大值．
（4）在點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在MN∥AC的情況？若存在，求出⊙O的半徑OB；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．
∵在直角△ABH中，cosB=．
∴=，
∵AB=5．
∴BH=3AH=4．
∵BC=6，
∴CH=3．
∵AH⊥BC，DC⊥BC，
∴AH∥DC．
∵AD∥BC，
∴四邊形AHCD是矩形．
∴AD=CH=3，DC=AH=4．
∴AC=5．

（2）如圖2，連接OG．
∵⊙O與對(duì)角線(xiàn)AC相切，
∴OG⊥AC．∴△OCG∽△ACH．
∴=．
設(shè)OB=r，則OC=6-r．
∴=．∴r=，即OB=．

（3）如圖3，
當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)到使P、A重合時(shí)，⊙C的半徑CN最大．
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F．
∵OA=OB，AB=5，
∴BF=．
∵cosB=，
∴=．
∴OB=．
∴ON=．
∵BC=6，
∴OC=6-=．
∴CN=ON-OC=-=．

（4）如圖4，
在點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不存在MN∥AC的情況．
理由：假設(shè)MN∥AC，則=．
∵OM=ON，
∴OC=OE．
∵AD∥OC，
∴=．
∴AD=DE．
∵AD=3，
∴DE=3．
設(shè)OB=r，則OC=OE=6-r，OD=OE+ED=6-r+3=9-r．
∵在直角△OCD中，OC²+CD²=OD²．
∴4²+（6-r）²=（9-r）²．
∴r=．
∵△OBP∽△ABC，
∴=．
∴=．
∴BP=r=×=＞AB=5．
∴與點(diǎn)P在AB上矛盾．
∴在點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不存在MN∥AC的情況．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．先由AB及cosB求得BH，再求得AH、HC，則AC的長(zhǎng)也可求出．
（2）由△OCG∽△ACH得=，設(shè)OB=r，OC=6-r，代入可求得r的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)到使P、A重合時(shí)，⊙C的半徑CN最大．過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，先在△OBF中求得OB的長(zhǎng)，再由BC求得OC的長(zhǎng)，則CN的長(zhǎng)即可求出．
（4）在點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不存在MN∥AC的情況．可假設(shè)MN∥AC，用反證法證得矛盾．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大，同學(xué)們要細(xì)心作答．