Question

如圖所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)a=

25+12 3

，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA²+PB²=PC²，若PC=5，求PA，PB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：按原題作圖：以B為中心，按60度旋轉(zhuǎn)△BAP，使得A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至C點(diǎn)，P點(diǎn)至Q．
可以很容易證明：CQ=PA、PQ=PB，注意到PA²+PB²=PC²是直角三角形．

解答：解：以B為中心，按60度旋轉(zhuǎn)△BAP，使得A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至C點(diǎn)，P點(diǎn)至Q．
∵PA²+PB²=PC²
∴△PCQ為直角三角形，∠CQP=90°．
∴∠CQB=150°．
BC²=CQ²+BQ²-2CQ•BQcos150°
=PA²+PB²-2PA•PB（-

3

2

）
=PC²+

3

PA•PB
=25+

3

PA•PB．
BC²=25+12

3

．
∴PA•PB=12，
∵PA²+PB²=25，
∴PA=3，PB=4或PA=4，PB=3．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的特征、解直角三角形等知識(shí)．難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問(wèn)題的精神．