Question

（2012•石家莊二模）如圖1，在一次航海模型船訓(xùn)練中，A₁B₁和A₂B₂是水面上相鄰的兩條賽道（看成兩條互相平行的線段）．甲船在賽道A₁B₁上從A₁處出發(fā)，到達(dá)B₁后，以同樣的速度返回A₁處，然后重復(fù)上述過(guò)程；乙船在賽道A₂B₂上以2m/s的速度從B₂處出發(fā)，到達(dá)A₂后以相同的速度回到B₂處，然后重復(fù)上述過(guò)程（不考慮每次折返時(shí)的減速和轉(zhuǎn)向時(shí)間）．若甲、乙兩船同時(shí)出發(fā)，設(shè)離開(kāi)池邊B₁B₂的距離為y（m），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），甲船運(yùn)動(dòng)時(shí)，y（m）與t（s）的函數(shù)圖象如圖2所示．

（1）賽道的長(zhǎng)度是

90

m，甲船的速度是

3

m/s；
（2）分別求出甲船在0≤t≤30和30＜t≤60時(shí)，y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出乙船由B₂到達(dá)A₂的時(shí)間，并在圖2中畫(huà)出乙船在3 分鐘內(nèi)的函數(shù)圖象；
（4）請(qǐng)你根據(jù)（3）中所畫(huà)的圖象直接判斷，若從甲、乙兩船同時(shí)開(kāi)始出發(fā)到3分鐘為止，甲、乙共相遇了幾次？

Answer 1

分析：（1）由于甲船在賽道A₁B₁上從A₁處出發(fā)，到達(dá)B₁后，以同樣的速度返回A₁處，然后重復(fù)上述過(guò)程，又因?yàn)閥表示船離開(kāi)池邊B₁B₂的距離，所以圖2中當(dāng)t=0時(shí)對(duì)應(yīng)的y值即為賽道的長(zhǎng)度；因?yàn)?0秒鐘甲船從A₁處運(yùn)動(dòng)到B₁處，即30s運(yùn)動(dòng)90m，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，即可求出甲船的速度；
（2）先根據(jù)圖象的形狀，可判斷出甲船在0≤t≤30和30＜t≤60時(shí)，y都是t的一次函數(shù)，設(shè)出其解析式，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解；
（3）乙船的速度為2m/s，由B₂到達(dá)A₂的路程為賽道的長(zhǎng)度90m，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，即可求出乙船由B₂到達(dá)A₂的時(shí)間為45s；乙船在3分鐘內(nèi)可運(yùn)動(dòng)2個(gè)來(lái)回，每45s可從賽道一端運(yùn)動(dòng)到另外一端，起點(diǎn)在原點(diǎn)，據(jù)此在圖2中畫(huà)出乙船在3分鐘內(nèi)的函數(shù)圖象；
（4）兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為相遇次數(shù)．

解答：解：（1）圖2中，∵t=0時(shí)，y=90，
∴賽道的長(zhǎng)度是90m；
∵甲船30s運(yùn)動(dòng)90m，
∴速度為90÷30=3（m/s）；
故答案為90，3；                                  

（2）當(dāng)0≤t≤30時(shí)，設(shè)y=kt+b，
將（0，90），（30，0）代入，得

b=90 30k+b=0

，
解得

k=-3 b=90

，
則y=90-3t（0≤t≤30）；
當(dāng)30＜t≤60時(shí)，設(shè)y=mt+n，
將（30，0），（60，90）代入，得

30m+n=0 60m+n=90

，
解得

m=3 n=-90

，
則y=3t-90（30＜t≤60）；

（3）∵賽道的長(zhǎng)度為90米，乙船的速度為2米/秒，
∴乙船由B₂到達(dá)A₂的時(shí)間為90÷2=45（秒）；           
乙船在3分鐘內(nèi)的函數(shù)圖象如圖3所示：

（4）從圖3可知甲、乙共相遇5次．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了分段函數(shù)，以及分段函數(shù)的圖象及其應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想與方法．