Question

（2003•遼寧）（1）如圖（a），已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC、AD．求證：①∠BAD=∠CAG；②AC•AD=AE•AF；
（2）在問題（1）中，當直線l向上平行移動，與⊙O相切時，其他條件不變．
①請你在圖（b）中畫出變化后的圖形，并對照圖（a），標記字母；
②問題（1）中的兩個結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①可連接BD，由四邊形ACDB是圓的內接四邊形得出∠DBA=∠ACG，根據等角的余角相等即可得出∠BAD=∠CAG，
②根據所求的比例線段可得出，要證的實際是△FAC和△DAE相似．根據圓周角定理可得出∠AFC=∠ADC．而由①得出的相等角可知，它們的補角也應相等，因此∠DAE=∠CAF，由此可得證．
（2）同（1）①的方法類似，只不過由圓內接四邊形的外角得出的角相等變成了由弦切角定理得出．其他步驟一樣．（也可以連接OC，通過平行和等邊對等角來求證）
②方法同（1）②一樣，因此（1）中所求的結論均成立．
解答：解：（1）證明：
①連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠AGC=∠ADB=90°．
又∵ACDB是⊙O內接四邊形，
∴∠ACG=∠B．
∴∠BAD=∠CAG．
②連接CF，
∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB，
∴∠DAE=∠FAC．
又∵∠ADC=∠F，
∴△ADE∽△AFC．
∴．
∴AC•AD=AE•AF．

（2）①如圖；
②兩個結論都成立，證明如下：
①連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠AGC=90°．
∵GC切⊙O于C，
∴∠GCA=∠ABC．
∴∠BAC=∠CAG（即∠BAD=∠CAG）．
②連接CF，
∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，
∴∠GCF=∠CAE，∠ACF=∠ACG-∠GCF，∠E=∠ACG-∠CAE．
∴∠ACF=∠E．
∴△ACF∽△AEC．
∴．
∴AC²=AE•AF（即AC•AD=AE•AF）．
點評：考查圓周角定理，相似三角形的判定．要掌握這些性質才能在解題的過程中靈活運用．