Question

“5.12”四川汶川8.0級(jí)特大地震牽動(dòng)著億萬國人的心，眾志成城，抗震救災(zāi)！災(zāi)區(qū)人民在黨和各級(jí)政府的領(lǐng)導(dǎo)下，抓住農(nóng)時(shí)投入了災(zāi)后的生產(chǎn)．災(zāi)區(qū)某生產(chǎn)隊(duì)想安排30個(gè)勞動(dòng)力開墾75畝土地（每個(gè)人可參與多種土地的開墾），這些土地可以種蔬菜、水稻和地瓜，如果這些農(nóng)作物所需的勞動(dòng)力和預(yù)計(jì)的產(chǎn)值如下表：

農(nóng)作物 勞動(dòng)力和預(yù)計(jì)產(chǎn)值	蔬菜	水稻	地瓜
每畝所需的勞動(dòng)力（人）	0.5	0.25	0.125
每畝預(yù)計(jì)的產(chǎn)值	100	60	45

（1）設(shè)種蔬菜x畝，水稻y畝，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請你為生產(chǎn)隊(duì)長設(shè)計(jì)一個(gè)能使所有土地都種上農(nóng)作物，全部勞動(dòng)力都有工作，而且農(nóng)作物預(yù)計(jì)總產(chǎn)值達(dá)到最高的最佳生產(chǎn)方案；
（3）目前世界糧食緊缺，水稻需求量加大，若水稻預(yù)計(jì)產(chǎn)值每畝提高10元，其他數(shù)據(jù)不變，又如何安排生產(chǎn)方案才能達(dá)到總產(chǎn)值最高？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，種地瓜（75-x-y）畝，各種農(nóng)作物所需勞動(dòng)力之和為30人，得關(guān)系式；
（2）根據(jù)上面得到的關(guān)系分別表示各種農(nóng)作物的產(chǎn)值，從而表示出總產(chǎn)值，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍解答；
（3）表示出調(diào)整后的關(guān)系式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍解答．

解答：解：（1）∵種蔬菜x畝，水稻y畝∴種地瓜（75-x-y）畝，
∴

1

2

x+

1

4

y+

1

8

(75-x-y)=30，整理：y=-3x+165（2分）；

（2）設(shè)農(nóng)作物總產(chǎn)值為w元，則w=100x+60y+45（75-x-y）=10x+5850（3分），
∵75-x-y=75-x-（-3x+165）=2x-90，
由題意：

x≥0 -3x+165≥0 2x-90≥0

，解得45≤x≤55（4分），
∵10＞0∴w隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=55時(shí)，w_最大值=6400（5分），
故最佳生產(chǎn)方案是安排種蔬菜55畝，地瓜20畝，可使總產(chǎn)值最高（6分）；

（3）為了滿足水稻需求量，盡量安排種水稻，在y=-3x+165中，
∵-3＜0，∴y隨x增大而減小∴當(dāng)x=45時(shí)，y有最大值，（7分）
設(shè)此時(shí)總產(chǎn)值為w'，w'=100x+70y+45（75-x-y）=-20x+7500，（8分）
∵-20＜0，∴w′隨x增大而減小，（9分）
∴當(dāng)x=45時(shí)，w'_大=6600綜上所述，此時(shí)最佳方案是種蔬菜45畝，水稻30畝時(shí)可滿足產(chǎn)值最高，且滿足水稻的需求．（10分）

點(diǎn)評：運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值，確定自變量的取值范圍是關(guān)鍵．