如圖，AD為圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠EAC的平分線，它與圓交于點D，F(xiàn)為BC上的點．
（1）求證：BD=DC；
（2）請你再補充一個條件使直線DF一定經(jīng)過圓心，并說明理由．

（1）證明：∵∠CDB=∠CAB，∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD+∠CDB=∠CAB+∠CAD；
∴∠DAE=∠DCB；
又∵AD是角平分線，
∴∠DAE=∠DAC=∠DBC=∠DCB；
∴△DCB是等腰三角形，
∴DC=DB；

（2）解：若F為BC中點，則DF經(jīng)過圓心；
∵△DBC是等腰三角形，
∴DF是底邊中線；
∵圓內(nèi)接三角形圓心是三邊中垂線的交點，
∴DF必過圓心．
分析：（1）先有圓周角定理得出∠DAE=∠DCB，再有角平分線的性質(zhì)可得出∠EAD=∠DAC，判斷出△DCB是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知若F為BC中點，則DF經(jīng)過圓心．
點評：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理、等腰三角形的判定及性質(zhì)，能根據(jù)圓周角定理得出△DCB是等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD． 
（1）AP=PD；
（2）請判斷A，D，F(xiàn)三點是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說明理由；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

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科目：初中數(shù)學 來源：2013屆湖北宜城九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（有解析） 題型：解答題

已知：如圖，DABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD．

（1）求證：AP=PD；
（2）請判斷A，D，F(xiàn)三點是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說明理由；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

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科目：初中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北宜城九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（有解析） 題型：解答題

已知：如圖，DABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD．

  （1）求證：AP=PD；

（2）請判斷A，D，F(xiàn)三點是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說明理由；

（3）連接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

 

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科目：初中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省襄陽市宜城市九年級（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD． 
（1）AP=PD；
（2）請判斷A，D，F(xiàn)三點是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說明理由；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

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