Question

證明：當(dāng)AB是三個(gè)圓的公共弦，過(guò)A的不同于AB的任意一條直線確定相同的比XY：YZ，這里X是在第一個(gè)圓上不同于B的任意一點(diǎn)，而Y與Z是AX交其它兩個(gè)圓的交點(diǎn)（使Y標(biāo)記在X與Z之間）．

Answer 1

分析：設(shè)l是一條過(guò)A但不同于AB的直線，連接BA，BX，BY，BZ，由于∠AXB，∠AYB，∠AZB一直對(duì)弦AB，與l的選擇無(wú)關(guān)．再根據(jù)△BXY的各角與△BXZ的各角大小都不變，故XY：YZ是常數(shù)．

解答：解：證法1：設(shè)l是一條過(guò)A但不同于AB的直線，連接BA，BX，BY，BZ．如圖1，
應(yīng)為∠AXB，∠AYB，∠AZB一直對(duì)弦AB，與l的選擇無(wú)關(guān)．
由此推得對(duì)所有這樣的l，在△BXY的各角與△BXZ的各角大小都不變．于是由相似三角形，知比XY：YZ仍然是常數(shù)．注意到它的成立與X，Y，Z與A的位置無(wú)關(guān)．假設(shè)X，Y，Z都位于A的同側(cè)（象在這個(gè)圖形中），∠AXB=α，∠AYB=β，∠AZB=γ．則∠BXY=180°-α，∠BYX=β，∠BYZ=180°-β，∠BZY=γ．
現(xiàn)在假設(shè)l的選擇使X與Y、Z在A的相對(duì)的一側(cè)．現(xiàn)在因?yàn)閄在弦AB的另一側(cè)，∠AXB=180°-α，但它一直是這種情形，∠BXY=180°-α和所有在這兩個(gè)相關(guān)的三角形中的其它的角仍然是不變的．
若l的選擇使X與A是同一點(diǎn)，則l是第一個(gè)圓的切線且這一直是這種情形，∠BXY=180°-α．所有其它情形都可用相似的方法證明．也說(shuō)是說(shuō)，各種情形中△BXY與△BXZ的組合圖形的形狀總是與圖1中的一樣．從而原命題成立．
證法2：設(shè)m是AB的垂直平分線，設(shè)這三個(gè)圓的圓心分別是O₁，O₂，O₃．因?yàn)锳B是所有這三個(gè)圓的公共弦，所以O(shè)₁，O₂，O₃都位于m上．設(shè)l是過(guò)A且不同于AB的一條直線，假設(shè)X，Y，Z都位于AB的同一側(cè)，如圖2．設(shè)過(guò)O₁，O₂，O₃分別作l的垂線，垂足分別為P，Q，R．由垂徑定理，得AX=2AP，AY=2AQ，AZ=2AR．
現(xiàn)在XY=AY-AX=2（AQ-AP）=2PQ．類似地，YZ=2QR．
因此XY：YZ=PQ：QR．又O₁P∥O₂Q∥O₃R，故PQ：QR=O₁O₂：O₂O₃．因?yàn)檫@些圓心是確定的，比XY：YZ=O₁O₂：O₂O₃是一個(gè)常數(shù)，不隨l的選擇而變化．
若X，Y，Z不都位于AB的同一側(cè)，我們可用類似的證明得到相同的結(jié)果．事實(shí)上，若X與Y在AB相對(duì)的一側(cè)，則我們將有XY=AY+AX，但因?yàn)樵赑Q=AQ+AP這種情形里，一直有XY=2PQ這種情形．其它結(jié)論也可與此類似證得．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，解答此題的關(guān)鍵是要抓住在同圓或等圓中，只要圓的弦不變，那么這條弦所對(duì)的圓周角永遠(yuǎn)不變即可解答．