Question

如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過原點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)在拋物線上，且以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連接，如圖2，在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為．拋物線過原點(diǎn)，

．．拋物線的解析式為，

即．

（2）如圖1，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，

．

由，得，，，．

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．將代入，

得，；

根據(jù)拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．

 當(dāng)四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)即為點(diǎn)，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．··· （8分）

（3）如圖2，由拋物線的對稱性可知：

，．

若與相似，

必須有．

設(shè)交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，

顯然，直線的解析式為．

由，得，．．過作軸，

在中，，，．

．．

與不相似，同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的點(diǎn)．

所以在該拋物線上不存在點(diǎn)，使得與相似．