Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A(，0)，B(3，2)，（0，2)．動點D以每秒1個單位的速度從點0出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向終點B運動．過點E作EF上AB，交BC于點F，連結(jié)DA．DF．設(shè)運動時間為t秒．

 (1)求∠ABC的度數(shù)；

(2)當t為何值時，AB∥DF；

(3)設(shè)四邊形AEFD的面積為S．①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②若一拋物線y=x²+mx經(jīng)過動點E，當S<2時，求m的取值范圍(寫出答案即可)．

Answer 1

解：（1）過點B作BM⊥x軸于點M，

                           

∵C（0，2），B（3，2），

∴BC∥OA，

∵BM=2，AM=2，

∴tan∠BAM=，

∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF，

∴∠CFD=∠CBA=30°，

在Rt△DCF中，CD=2－t，∠CFD=30°，

∴CF=（2－t），

∵AB=4，

∴BE=4－2t，∠FBE=30°，

∴BF=，

∴（2－t）+=3，∴t=．

（3）①解法一：過點EG⊥x軸于點G，則EG=t，OG=+t

∴E（+t，t）∴DE∥x軸

S=S_△DEF+ S_△DEA=DE×CD+DE×OD=DE×OC

 =×（t+）×2=t+．

解法二：∵BF=   ∴CF=3－=

∴S= S_梯形OABC－ S_△COA －S_△CDF－ S_△FEB

   =4－t－（2－t）（4t+1）－（4－2t）²

   =t+.

②當S<2時，t+<2

∴t<1      ∵t>0      ∵0<t<1

∴<m<