Question

【題目】如圖所示，A、B兩城市相距100km，現計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)，為什么？（參考數據： ≈1.732， ≈1.414）

Answer 1

【答案】解：過點P作PC⊥AB，C是垂足．
則∠APC=30°，∠BPC=45°，
AC=PCtan30°，BC=PCtan45°．
∵AC+BC=AB，
∴PCtan30°+PCtan45°=100km，
∴ PC=100，
∴PC=50（3﹣ ）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．
答：森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護區(qū)的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區(qū)．

【解析】過點P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC就都可以根據三角函數用PC表示出來．根據AB的長，得到一個關于PC的方程，解出PC的長．從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．