Question

（2012•營口）如圖，直線y=-x+b與雙曲線y=

1

x

（x＞0）交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于E、F兩點，連接OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，則b=

4

3

3

．

Answer 1

分析：根據直線解析式求出點E、F的坐標，過點O作OM⊥AB于點M，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯立兩函數解析式求解可得y₁=x₂，y₂=x₁，從而判斷出點A、B關于OM對稱，并求出點A的坐標，然后代入雙曲線解析式計算即可得解．

解答：解：令y=0，則-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，則y=b，
所以，點E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF，
過點O作OM⊥AB于點M，則ME=MF，
設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯立

y=-x+b y= 1 x

，
消掉y得，x²-bx+1=0，
根據根與系數的關系，x₁•x₂=1，
所以y₁•y₂=1，
所以y₁=x₂，y₂=x₁，
所以OA=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三線合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
所以點A（

3

4

b，

1

4

b），
∵點A在雙曲線y=

1

x

上，
∴

3

4

b×

1

4

b=1，
解得b=

4

3

3

．
故答案為：

4

3

3

．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，聯立兩函數解析式求解得到OA=OB，然后根據三角形的面積求出點A、B、M是線段EF的四等分點，并求出點A的坐標是解題的關鍵．