Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣2x﹣3經過點A（﹣2，a），與x軸相交于B、C兩點（B點在C點左側）．

（1）求a的值及B、C兩點坐標；

（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BD，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點D的坐標；

（3）設P（m，-3)是該拋物線上一點，點Q為拋物線的頂點，在x軸、y軸分別找點M、N，使四邊形MNQP的周長最小，請求出點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）5；（-1,0），（3,0） （2）（1，）；（1，） （3）（，0）；（0，）

【解析】

（1）把A（-2，a）代入y＝x2﹣2x﹣3可得a的值，分別 令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標，從而可得B、C點坐標；

（2）設對稱軸于BC的交點為E，先求出點C，點E坐標，可求BC=4，BH=CH=2，由折疊的性質可得BC'的長，由勾股定理可求C'H，DH的長，即可求解；

（4）作Q點關于y軸的對稱點Q′（-1，-4），作點P（2，-3）關于x軸的對稱點P′（2，3），連接Q′P′分別交x、y軸于點M、N，此時，四邊形QPMN的周長最小，即可求解．

解：（1）把A（-2，a)代入y＝x2﹣2x﹣3，得a=5；

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0 解得x1=3, x2=-1

∵B點在C點左側

∴B(-1,0)，C(3,0)

(2)如圖，設拋物線的對稱軸與x軸交于點H，則H點的坐標為（1，0），BH＝2，

由翻折得C′B＝CB＝4，

在Rt△BHC′中，由勾股定理，得，

∴點C′的坐標為（1，2），tan，

∴∠C′BH＝60°，

由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，

在Rt△BHD中，DH＝BHtan∠DBH＝2tan30°＝，

∴點D的坐標為（1，）．

（3）如圖2，

∵Q為拋物線的頂點，

∴Q（1，﹣4），

∴Q關于y軸的對稱點Q'（﹣1，﹣4），

∵P（m,-3）在拋物線上，

∴P（2，﹣3），

∴點P關于x軸的對稱點P'（2，3），

連接Q′、P′分別交x、y軸于點M、N，此時，四邊形OPMN的周長最小，，

設直線Q′P′的解析式為y=kx+b，則有

，解得，

∴直線P'Q'的解析式為y＝x﹣，

當x=0時，y=﹣；當y=0時，x=;

∴M（，0），N（0，﹣）．