Question

如圖，O為∠EPF內(nèi)射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A，B和C，D且AB=CD，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求四邊形PAOC的面積；
（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P，A，B，C，D，O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成等腰梯形的四個點為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1=∠2，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠1=∠3，推出∠2=∠3即可；
（2）根據(jù)全等三角形的證明得出△PCO≌△PAO，進(jìn)而求出四邊形PAOC為平行四邊形，四邊形PAOC的面積=PA•ON得出即可；
（3）根據(jù)OA=OC=PA=PC即可推出答案；根據(jù)平行線得出梯形，根據(jù)兩邊線段即可得出梯形是等腰梯形．
解答：（1）證明：連接OC，過O分別作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，
則在⊙O中，CM=CD，AN=AB，
∵AB=CD，
∴CM=AN，
在Rt△COM和Rt△AON中，

∴Rt△COM≌Rt△AON（HL），
∴OM=ON，
∵OM⊥CD，ON⊥AB，
∴∠1=∠2，
∵OA∥PE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AP=AO；
                                              
（2）解：由（1）知，Rt△COM≌Rt△AON，
∴∠OCM=∠OAN，
∴180°-∠OCM=180°-∠OAN，
∴∠PCO=∠PAO，
∵
∴△PCO≌△PAO（AAS），
∴∠3=∠4，
由（1）知，∠2=∠3，
∴∠2=∠4，
∴OC∥PA，
∵OA∥PE，
∴四邊形PAOC為平行四邊形，
在Rt△AON中，OA=10，AN=6，
∴ON=8，而PA=OA=10，
∴四邊形PAOC的面積=PA•ON=10×8=80；
                               
（3）解：根據(jù)（1）所求可以得出：OA=OC=PA=PC；
根據(jù)平行線得出梯形，根據(jù)兩邊線段即可得出梯形是等腰梯形，
故能構(gòu)成等腰梯形的四個點為P、C、O、B或P、A、O、D或A、B、D、C．          
故答案為：P、C、O、B或P、A、O、D或A、B、D、C．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，菱形的判定等知識點的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，題型較好，難度適中，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和分析問題、解決問題的能力．