Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在軸上，點(diǎn)在軸上，，，為線段上一動點(diǎn)，以為邊在軸上方作正方形，連接．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則________；

（2）當(dāng)________時，軸；

（3）當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)過程中，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為________；

（4）當(dāng)面積最大時，求出的長及面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）－；（2）；（3）5；（4）的長為時，的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）由勾股定理可得64-(5-m)2=25-(-m)2，可求m的值；
（2）由勾股定理可求CO的長，由“AAS”可證△AED≌△ODC，可得AD=CO，即可求解；

（3）由“AAS”可證△CFH≌△CDO，可得CH=CO=，FH=DO，可得點(diǎn)F在FH上移動，由特殊位置可求解；

（4）過點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，由三角形的面積公式可得△ADE面積=×AD×EN=(5-BD)(+BD)=-(BD-)2+，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），
∴BO=-m，
∵CO2=AC2-AO2，CO2=CB2-BO2，
∴64-（5-m）2=25-（-m）2，
∴m=-，
故答案為：-；

（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，0），
∴BO=，

，

∵EA⊥x軸，
∴∠EAD=90°，
∴∠EDA+∠AED=90°，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=DE，∠EDC=90°，
∴∠EDA+∠CDO=90°，
∴∠AED=∠CDO，
∵∠EAD=∠COD，ED=CD，
∴△AED≌△ODC（AAS）
∴AE=DO，AD=CO=，
∴BD=AB-AD=5-=，
∴當(dāng)BD=時，EA⊥x軸；
故答案為：；

（3）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，過點(diǎn)F作FH⊥CH，交點(diǎn)為H，

∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠FCH+∠DCH=90°，
又∵∠DCO+∠HCD=90°，
∴∠FCH=∠DCO，
又∵FC=DC，∠CHF=∠DOC=90°，
∴△CFH≌△CDO（AAS）
∴CH=CO=，FH=DO，
∴點(diǎn)F在FH上移動，
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，FH=BO=，
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，FH=AO=AB+BO=5+=，
∴當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A過程中，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長為-=5，
故答案為：5；

（4）設(shè)的長為，的面積為，則

如圖，過點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，

由（2）可得△DEN≌△CDO，
∴EN=DO，
∵△ADE面積=×AD×EN=(5-BD)(+BD)

∴

整理得：

配方得：

即的長為時，的面積最大，最大值為．