Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（其中b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍．
（3）沿直線AC方向平移該二次函數(shù)圖象，使得CM與平移前的CB相等，求平移后點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（4）點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AC的垂線PQ，記點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)為M′．當(dāng)以點(diǎn)P，A，M，M′為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得

解得 ，

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5）

（2）解：設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（3，1），C（0，4）代入得 ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對(duì)稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F

把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，1），

點(diǎn)M向下平移m個(gè)單位后，坐標(biāo)為（1，5﹣m），

由題意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

∴2＜m＜4

（3）解：如圖，

當(dāng)y=1時(shí)，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，

∴B（﹣1，1），

∵C（0，4），

∴BC= = ，

∵M(jìn)M′∥AC，CM′= ，M（1，5）．

∴M′的坐標(biāo)為（3，3）或（﹣1，7）．

∴平移后點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，3）或（﹣1，7）

（4）解：如圖，連接MC，MM′交PQ于F，則四邊形CMFP是矩形，

當(dāng)四邊形 PAM′M是平行四邊形時(shí)，PA=MM′=2MF=2PC，設(shè)P（m，﹣m+4），

則有 （3﹣m）=2 m，

∴m=1，

∴P（1，3），

當(dāng)四邊形 P′AMM′是平行四邊形時(shí)，易知AP′=2CP′，

∴ （3﹣m）=2 （﹣m），

解得m=﹣3，

∴P（﹣3，7），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣3，7）．

【解析】（1）將點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可，再用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）先求出直線AC的函數(shù)解析式，再根據(jù)已知AB∥x軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，點(diǎn)M向下平移m個(gè)單位后，坐標(biāo)為（1，5﹣m），再見了不等式組，即可求出m的取值范圍。
（3）當(dāng)y=1時(shí)，﹣x2+2x+4=1，解方程求出方程的解，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再Rt△BDC中，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，由MM′∥AC及點(diǎn)M的坐標(biāo)，就可求出平移后點(diǎn)M的坐標(biāo)。
（4）連接MC，MM′交PQ于F，則四邊形CMFP是矩形，當(dāng)四邊形 PAM′M是平行四邊形時(shí)，PA=MM′=2MF=2PC，建立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形 P′AMM′是平行四邊形時(shí)，易知AP′=2CP′，建立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的確定一次函數(shù)的表達(dá)式和勾股定理的概念，需要了解確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．