Question

如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE垂直平分BC，分別交BD、BC于點F、E，已知sin∠BAE=．
（1）求的值；
（2）若AB=10，求AO和AF的值．

Answer 1

解：（1）∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，∠AEB=90°，BE=CE，
在Rt△ABE中，sin∠BAE==，
設BE=3x，則AB=5x，CE=3x，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC=3x+3x=6x，
∴==；
（2）∵AB=10，
∴5x=10，解得x=2，
∴AC=10，BE=6，AD=12，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=AC=5，
在Rt△ABE中，AE==8，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴==2，
∴EF=AF，
∴AF+AF=AE=8，
∴AF=．
分析：（1）由AE垂直平分BC得到AB=AC，∠AEB=90°，BE=CE，根據正弦的定義得sin∠BAE==，設BE=3x，則AB=5x，CE=3x，然后根據平行四邊形的性質得AD=6x，再計算；
（2）由AB=10，則5x=10，解得x=2，所以AC=10，BE=6，AD=12，根據平行四邊形的性質得AO=AC=5，利用勾股定理計算出BE=8，由AD∥BC得到△ADF∽△EBF，利用相似可得到EF=AF，然后利用EF+AF=AE=8計算即可求出AF．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形一邊的直線被其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．也考查了平行四邊形的性質．