Question

已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在邊BC、AC上，且DF∥AB，過點(diǎn)A平行于BC的直線與DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連結(jié)CE、BF．

（1）求證：△ABF≌△ACE；

（2）若D是BC的中點(diǎn)，判斷△DCE的形狀，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等邊三角形，從而證得結(jié)論；（2）直角三角形

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等邊三角形，從而證得結(jié)論；

（2）連接AD．先根據(jù)平行四邊形的定義證得四邊形ABDE是平行四邊形，即得AE＝BD，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得BD＝DC，再結(jié)合AE∥DC可得四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明即可.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°．

∵DE∥AB，AE∥BD，

∴∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°．

∴△EAF是等邊三角形．

∴AF＝AE．

在△ABF和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝60°，AF＝AE，

∴△ABF≌△ACE．   

（2）△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°

理由：連接AD．

∵DE∥AB，AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．

∴AE＝BD．

∵D是BC中點(diǎn)，

∴BD＝DC．

∴AE＝DC．

∵AE∥DC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，

∴AD⊥DC．

∴四邊形ADCE是矩形．

∴△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°．

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，是中考常見題，熟練掌握平面圖形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.