Question

如圖，PA為⊙O直徑，過弧AC的中點H作PC的垂線交PC的延長線于點B，若HB=6cm，BC=4cm，求⊙O直徑．

Answer 1

解：連接AC，OH，交于點G，
∵AP為直徑，
∴∠ACP=90°，
∵HB⊥PB，
∴∠PBH=90°，
∴∠ACP=∠PBH，
∴AC∥BH，
∵H為的中點，
∴OH⊥AC，G為AC的中點，
∴BH⊥OH，即BH為圓的切線，
∴四邊形BCGH為矩形，
∴BC=GH=4cm，CG=BH=6cm，
∵OG為△ACP的中位線，
∴OG=PC，
設(shè)圓的半徑為xcm，則OH=xcm，PA=2xcm，
OG=OH-GH=（x-4）cm，PC=（2x-8）cm，AC=2CG=12cm，
在Rt△ACP中，根據(jù)勾股定理得：PA²=AC²+PC²，
即（2x）²=12²+（2x-8）²，
解得：x=6.5．
則圓的直徑為13cm．
分析：連接AC，OH，由AP為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACP=90°，再由HB垂直于BP得到∠PBH=90°，利用同位角相等兩直線平行得到AC與BH平行，再由H為弧AC的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OH垂直于AC，G為AC的中點，可得出OH垂直于BH，得到四邊形BCGH為矩形，利用矩形的對邊相等得到BC=GH，BH=CG，再由G與O分別為AC、PA的中點，利用中位線定理得到PC=2OG，設(shè)圓的半徑為xcm，由OH-GH表示出OG，進而表示出PC，由AC=2CG求出AC的長，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出圓的直徑．
點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，三角形的中位線定理，矩形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．